Giải thích các bước giải:
1) Vì tam giác ABC vuông tại A
$\begin{gathered} \Rightarrow \angle ABC + \angle BCA = 90^\circ \hfill \\ \Rightarrow \angle ACB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \hfill \\ \end{gathered} $
2) Vì M trên tia đối tia AC
$\begin{gathered} \Rightarrow \angle CAB + \angle BAM = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow \angle BAM = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} $
$ \Rightarrow \angle BAM = \angle CAB$
Xét $\vartriangle $BAM và $\vartriangle $CAM có:
AM chung, AM=AC(gt), $ \Rightarrow \angle BAM = \angle CAB$(cmt)
=> $\vartriangle $BAM = $\vartriangle $CAM(c-g-c)
=> $ \Rightarrow \angle MBA = \angle CBA
=> BA là tia phân giác của MBC(đpcm)
3) Kẻ CK vuông góc với BN(K thuộc BN)
$ \Rightarrow \angle CKB = \angle CAB = 90^\circ $
Vì BN là phân giác góc ABC
$ \Rightarrow \angle CBK = \angle ACB = 30^\circ $
Xét $\vartriangle $CKB và $\vartriangle $BAC có:
CB chung
$ \Rightarrow \angle CBK = \angle ACB = 30^\circ $(cmt)
$ \Rightarrow \angle CKB = \angle CAB = 90^\circ $(cmt)
=> $\vartriangle $CKB = $\vartriangle $BAC
=> AC=KB
$\begin{gathered} Vì\,CN \bot AC,\,AC \bot AB(gt) \hfill \\ \Rightarrow CN//AB \hfill \\ \Rightarrow \angle CNB = \angle NBA \hfill \\ \end{gathered} $
$ \Rightarrow \angle CBN = \angle NBA(do\,BN\,là\,phân\,giác\,\angle CBA)$
=> tam giác CNB cân tại C, mà CK là đừong cao
=> CK đồng thời là đường trung tuyến
=> BN=2KB
=> BN=2AC(đpcm)
