cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n - 11 đều là số chính phương.

Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:

A \(=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)

Bài 1:Với x>0 cho các biểu thức:

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1};B=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}};P=\dfrac{A}{B}\)

a,Rút gọn và tính giá trị của P khi x=4

b,Tìm các giá trị thực của x để A\(\le\)3B

c,So sánh B với 1

d,Tìm x thỏa mãn \(P\sqrt{x}+\left(2\sqrt{5}-1\right)\sqrt{x}=3x-2\sqrt{x-4}+3\)

cho x,y>0va x2+y2=1 tìm GTNN\(\dfrac{-2xy}{1+xy}\)

Bài 1 : cho x > 0. tìm GTNN của \(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

Bài 2 : cho a2+b2=4 và a, b >= 0. tìm GTLN của \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)

giải phương trình vô tỉ sau

\(\sqrt{x^3+1}\left(4x-1\right)=2x^3+x^2+1\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}\)

Thực hiện phép tính:

Cho biểu thức:

P= \(\left(\dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}-\dfrac{3}{2-\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right)\)

a) Rút gọn P

b) Tính P với \(x=3-2\sqrt{2}\)

c) Tìm x để P.\(\sqrt{x}\) nhận giá trị lớn nhất

Bài 1 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{c^2}{a^3}>=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Bài 2 : Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng : a4+b4+c4 >= abc(a+b+c)