Cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của S=\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

chứng minh

\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

Giải PT: \(\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}=\dfrac{x-1}{x}\)

Thực hiện phép tính:

1)A=\(\left(\dfrac{1}{3-\sqrt{5}}-\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\right)\) . \(\dfrac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\)

2)B = \(\dfrac{1}{1 +\sqrt{2}}\) +\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)+-.+\(\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

3)C = \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}\) - \(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\)

4) D = \(\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}\)+\(\sqrt[3]{9-4\sqrt{3}}\)

cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n - 11 đều là số chính phương.

Tìm điều kiện của x để biểu thức sau có nghĩa:

A \(=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)

Bài 1:Với x>0 cho các biểu thức:

\(A=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1};B=\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}};P=\dfrac{A}{B}\)

a,Rút gọn và tính giá trị của P khi x=4

b,Tìm các giá trị thực của x để A\(\le\)3B

c,So sánh B với 1

d,Tìm x thỏa mãn \(P\sqrt{x}+\left(2\sqrt{5}-1\right)\sqrt{x}=3x-2\sqrt{x-4}+3\)

cho x,y>0va x2+y2=1 tìm GTNN\(\dfrac{-2xy}{1+xy}\)

Bài 1 : cho x > 0. tìm GTNN của \(M=4x^2-3x+\dfrac{1}{4x}+2011\)

Bài 2 : cho a2+b2=4 và a, b >= 0. tìm GTLN của \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)