Giải thiết:
$\Delta ABC\bot A$
$M$ là trung điểm của $BC$
$BI$ là phân giác $\widehat{ABM}$
$BI\bot AM$ tại $H$
Trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK=HB
Kết luận:
a) IA=IM
b) $\widehat{BIC}=?$
c) Chu vi $\Delta ABC=?$
d) $\Delta AIB=\Delta KIC$
Bài làm:
a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta MBH$ có:
$\widehat{ABH}=\widehat{MBH}$ (do $BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$ giả thiết)
$BH$ chung
$\widehat{BHA}=\widehat{BHM}=90^o$ (do $BI\bot AM$ tại H giả thiết)
$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta MBH$ (g.c.g)
$\Rightarrow AH=MH$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Xét $\Delta AHI=\Delta MHI$ có:
$AH=MH$ (chứng minh trên)
$\widehat{AHI}=\widehat{MHI}=90^o$ (do $BI\bot AM$ tại H giả thiết)
$HI$ chung
$\Rightarrow\Delta AHI=\Delta MHI$ (c.g.c)
$\Rightarrow AI=MI$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
b) Ta có $BA=BM$ (do hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau $\Delta ABH=\Delta MBH$ chứng minh câu a)
Lại có $AM=\dfrac12.BC=BM$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)
$\Rightarrow BA=BM=AM\Rightarrow\Delta ABM$ đều
$\Rightarrow \widehat{ABM}=60^o\Rightarrow\widehat{ABI}=30^o$
$\Rightarrow \widehat{BIC}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}$ (góc ngoài tam giác)
$=90^o+30^o=120^o$
c) Vì $\Delta ABC$ là tam giác vuông mà độ dài các cạnh là 2 số nguyên liên tiếp nên 3 cạnh của tam giác ABC là 3, 4, 5cm
Vì $3^2+4^2=9+16=25=5^2$ (định lý pitago đảo)
$\Rightarrow$ chu vi của $\Delta ABC$ là $3+4+5=12cm$
d) Ta có $BH=BK,AM\bot BK$ nên $AM$ là đường trung trực của BK nên $MB=MK$
Và $BK\bot AM, H$ là trung điểm của AM nên $BK$ là đường trung trực của AM nên KM=KA
$\Rightarrow AM=BM=KM=AK\Rightarrow\Delta AMK$ đều
$\widehat{MAK}=60^o$ có $\widehat{MAC}=30^o\Rightarrow \widehat{CAK}=30^o$
$\widehat{AKH}=\widehat{MKH}=30^o$ (do $BK$ là trung trực của AM)
$\Rightarrow\Delta AIK$ cân đỉnh I vì có $\widehat{IAK}=\widehat{IKA}=30^o$
$\Rightarrow AI=KI$
$\Delta IMB=\Delta IMC$ (c.g.c)
(IM chung, $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=90^o(=\widehat{BAI}), BM=CM)$
$\Rightarrow BI=CI$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Xét $\Delta AIB$ và $\Delta KIC$ có:
$BI=CI$ (chứng minh trên)
$\widehat{AIB}=\widehat{KIC}$ (đối đỉnh)
$AI=KI$ (chứng minh trên)
$\Rightarrow\Delta AIB=\Delta KIC$ (c.g.c)
