Đáp án đúng: C
Giải chi tiết: Đặt \(a=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\ge 0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+m+1={{a}^{2}}-1.\)
Khi đó phương trình trở thành: \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)a=3a\Leftrightarrow \,\,\sin x\left( 1+2{{\sin }^{2}}x \right)=2{{a}^{3}}+a\Leftrightarrow \,\,2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2{{a}^{3}}+a.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t\) trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0;\,\,\forall t\in \mathbb{R}.\)
Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right)\) mà \(f\left( \sin x \right)=f\left( a \right)\Leftrightarrow \,\,\sin x=a\) \(\Leftrightarrow \,\,\sin x=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\Leftrightarrow \,\,{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{3}}x+m+2\Leftrightarrow \,\,m=-\,2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-1\) \(\left( * \right).\)
Đặt \(u=\cos x,\) với \(x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right)\Rightarrow \,\,u\in \left( -\frac{1}{2};1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,m=f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1.\)
Xét hàm số \(f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1\) trên \(\left( -\frac{1}{2};1 \right],\) có \({f}'\left( u \right)=-\,6{{u}^{2}}-2u=0\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{align} & u=0 \\ & u=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right..\)
Lập bảng biến thiên, suy ra để \(m=f\left( u \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( -\frac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow \,\,\)\(-\frac{28}{27}\le m\le -\,4.\)
Kết hợp điều kiện \(m\in \mathbb{Z}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m=\left\{ -\,1;-\,2;-\,3;-\,4 \right\}\) là giá trị cần tìm.
Chọn C
