Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(N\left( { - 1;1;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ \(K\left( {0;0;2} \right)\) đến \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. \(\left( P \right)\) có vector pháp tuyến là:
A.\(\left( {1;1; - 1} \right)\)
B.\(\left( {1; - 1;1} \right)\)
C.\(\left( {1; - 2;1} \right)\)
D.\(\left( {2; - 1;1} \right)\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {m;0;0} \right);\,\,C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\) với \(m > 0,n > 0\) và \(m + n = 1\). Biết rằng khi m, n thay đổi luôn tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D. Tính bán kính R của mặt cầu đó ?
A.\(R = 1\)
B.\(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(R = \frac{3}{2}\)
D.\(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Cho hypebol \((H):3{x^2} - 12{y^2} = 12\), có hai tiêu điểm \({F_1},\,{F_2}\). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho \(M{F_1} = 2\).
A.\({M_1}\left( {\frac{8}{{\sqrt 5 }};\sqrt {\frac{{11}}{5}} } \right),\,{M_2}\left( {\frac{8}{{\sqrt 5 }}; - \sqrt {\frac{{11}}{5}} } \right)\,\).
B.\({M_1}\left( { - \frac{8}{{\sqrt 5 }};\frac{{11}}{{\sqrt 5 }}} \right),\,{M_2}\left( { - \frac{8}{{\sqrt 5 }}; - \frac{{11}}{{\sqrt 5 }}} \right)\,\).
C.\({M_1}\left( {\frac{8}{{\sqrt 5 }};\frac{{11}}{{\sqrt 5 }}} \right),\,{M_2}\left( {\frac{8}{{\sqrt 5 }}; - \frac{{11}}{{\sqrt 5 }}} \right)\,\)
D.\({M_1}\left( { - \frac{8}{{\sqrt 5 }};\sqrt {\frac{{11}}{5}} } \right),\,{M_2}\left( { - \frac{8}{{\sqrt 5 }}; - \sqrt {\frac{{11}}{5}} } \right)\,\).

Trong không gian, cho điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - z - 3 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua A và gốc tọa độ sao cho chu vi tam giác OIA bằng \(6 + \sqrt 2 \). Phương trình mặt cầu (S) là:
A.\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
B.\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\)
C.\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
D.\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\) hoặc \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\)

Cho điểm \(I\left( {1;7;5} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 6}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}\). Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng \(2\sqrt {6015} \) là:
A.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 2018\)
B.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 2017\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 2016\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 2019\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) có phương trình \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 18\). Đường thẳng d cắt (S) tại hai điểm phân biệt \(A,B\). Tính diện tích tam giác IAB.
A.\(\frac{{8\sqrt {11} }}{3}\)
B.\(\frac{{16\sqrt {11} }}{3}\)
C.\(\frac{{\sqrt {11} }}{6}\)
D.\(\frac{{8\sqrt {11} }}{9}\)

Cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) đều là:
A.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\)
B.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{20}}{3}\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{{16}}{4}\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{5}{3}\)

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 3y + z - 2 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) thuộc trục \(Oz\), bán kính bằng \(\frac{2}{{\sqrt {14} }}\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình:
A.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{2}{7}\)
B.\({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}\)
C.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{2}{7}\)
D.\({x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{2}{7}\) hoặc \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{2}{7}\)

Cho đường thẳng \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\) và hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right):\,\,x + 2y + 2z - 2 = 0\); \(\left( {{P_2}} \right):\,\,2x + y + 2z - 1 = 0\). Mặt cầu có tâm \(I\) nằm trên \(d\) và tiếp xúc với 2 mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right);\left( {{P_2}} \right)\) có phương trình:
A.\(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\)
B.\(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\) hoặc \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + \frac{{19}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{16}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{{15}}{{17}}} \right)^2} = \frac{9}{{289}}\)
C.\(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) hoặc \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + \frac{{19}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{16}}{{17}}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{15}}{{17}}} \right)^2} = \frac{9}{{289}}\)
D.\(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 9\)

Cho điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,6x + 3y - 2z + 24 = 0\). \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(784\pi \) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(H\), sao cho điểm \(A\) nằm trong mặt cầu là:
A.\({\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196\)
B.\({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y + 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196\)
C.\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\)
D.\({\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196\)