Chóp \(S.ABCD\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SC = a\sqrt 3 \). \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\). \(G\) là trọng tâm \(\Delta SCD\). Tính \(d\left( {OG;AD} \right)\).
A.\(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{5}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{7}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\)

Chóp \(S.ABCD\), \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\), \(\widehat {BAD} = {120^0}\). \((SAC)\) và \((SBD)\) cùng vuông góc với đáy, \(SA = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\). \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). Tính \(d\left( {G;\left( {SCD} \right)} \right)\).
A.\(\dfrac{{a}}{{\sqrt {57} }}\)
B.\(\dfrac{{4a}\sqrt {57} }{{19 }}\)
C.\(\dfrac{{4a}}{{\sqrt {57} }}\)
D.\(\dfrac{{4a}}{{3\sqrt {57} }}\)

Lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’,\) \(\Delta ABC\) vuông ở \(B\). \(BC = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a\sqrt 3 ;\,\,A'B = 2a\). \(M\) là trung điểm \(AC\). Tính \(d\left( {M;\left( {A'BC} \right)} \right)\).
A.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt 7}}{4}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{9}\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=6,\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((P):x+y+2z\,+\,5=0,\,\,(Q):2x-y+z\,-\,5=0\) lần lượt tại các tiếp điểm \(A,\,\,B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
A.\(2\sqrt{3}.\)                     
B. \(\sqrt{3}.\)                       
C. \(2\sqrt{6}.\)                                            
D. \(3\sqrt{2}.\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-m}{2}\) và mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(E,\,\,F\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(EF\) lớn nhất
A. \(m=1.\)                          
B. \(m=-\frac{1}{3}.\)          
C.\(m=0.\)                           
D. \(m=\frac{1}{3}.\)

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị của hàm số \(y={f}'(x)\) được cho như hình bên. Hàm số \(y=-2f(2-x)+{{x}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng
A. \((-1;\,\,0).\)                    
B. \((0;\,\,2).\)                     
C. \((-2;\,\,-1).\)                  
D.  \((-3;\,\,-2).\)

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a\) và \(A{A}'=\sqrt{2}a.\) Góc giữa hai đường thẳng \(A{B}'\) và \(B{C}'\) bằng
A.\({{30}^{0}}.\)                
B. \({{90}^{0}}.\)                
C.\({{45}^{0}}.\)                          
D.  \({{60}^{0}}.\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A(1;\,\,2;\,\,-1),\) đường thẳng \(d:\,\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z\,+1=0.\) Điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((P)\) thỏa mãn đường thẳng \(AB\) vuông góc và cắt đường thẳng \(d.\) Tọa độ điểm \(B\) là
A.\((6;\,\,-7;\,\,0).\)             
B. \((3;\,\,-2;\,\,-1).\)             
C. \((-3;\,\,8;\,\,-3).\)                                            
D. \((0;\,\,3;\,\,-2).\)

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)=\frac{\ln (x+3)}{{{x}^{2}}}\) sao cho \(F(-2)+F(1)=0.\) Giá trị của \(F(-1)+F(2)\) bằng
A.\(\frac{7}{3}\ln 2.\)       
B.\(\frac{2}{3}\ln 2+\frac{3}{6}\ln 5.\)                         
C.\(\frac{10}{3}\ln 2-\frac{5}{6}\ln 5.\)                      
D.\(0.\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A( - 1;\,\,1;\,\,6)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2\,+t \\ & y=1-2t \\ & z=2t \\ \end{align} \right..\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta \) là
A. \(K(2;\,\,1;\,\,0).\)            
B. \(N(1;\,\,3;\,\, - 2).\)        
C. \(H(11;\,\, - 17;\,\,18).\) 
D.  \(M(3;\,\,-1;\,\,2).\)