Cho hàm số $y=f(x)={{x}^{4}}-2(m+1){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. A. m = 2. B. m = 1. C. m = -1. D. m = 0.
Đáp án đúng: D Cách 1 Ta có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4(m+1)x=4x({{x}^{2}}-m-1)$ $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\{{x}^{2}}=m+1\end{array} \right.$ Hàm só có 3 cực trị khi và chỉ khi$m+1>0\Leftrightarrow m>-1$. Giả sử$A(0,{{m}^{2}}),B(\sqrt{{m+1}};-2m-1),\,C(-\sqrt{{m+1}};-2m-1)$ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ta có$\overrightarrow{{AB}}=(\sqrt{{m+1}};-{{(m+1)}^{2}});\,\,\overrightarrow{{AC}}=(-\sqrt{{m+1}};-{{(m+1)}^{2}})$. $AB=AC\Rightarrow \Delta ABC$ nếu vuông thì sẽ vuông tại A. Khi đó: $\overrightarrow{{AB}}.\overrightarrow{{AC}}=0\Leftrightarrow -(m+1)+{{(m+1)}^{4}}=0\Leftrightarrow {{(m+1)}^{3}}-1=0\Leftrightarrow m+1=1\Leftrightarrow m=0$ Cách 2: (Trắc nghiệm) Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông$\Leftrightarrow \frac{{{{b}^{3}}}}{a}=-8\Leftrightarrow \frac{{-8{{{(m+1)}}^{3}}}}{1}=-8\Leftrightarrow {{(m+1)}^{3}}=1\Leftrightarrow m+1=1\Leftrightarrow m=0$. Đáp án D