Tích phân $I=\int\limits_{1}^{{\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}}{{\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}}dx}}$ có giá trị bằng? A. $\frac{\pi }{2}.$ B. $\frac{\pi }{6}.$ C. $\frac{\pi }{3}.$ D. $\frac{\pi }{4}.$
Đáp án đúng: D Ta có $\frac{{{{x}^{2}}+1}}{{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}}=\frac{{1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}}}{{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}-1}}.$ Đặt$t=x-\frac{1}{x}=>dt=\left( {1+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}} \right)dx=>I=\int\limits_{0}^{1}{{\frac{{dt}}{{{{t}^{2}}+1}}.}}$ Đặt$t=\tan u=>dt=\frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}u}}du=>I=\int\limits_{0}^{{\frac{\pi }{4}}}{{du=\frac{\pi }{4}.}}$