Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\\
\Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1
\end{array}\]
Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\). khi đó, ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = {u_2} - {u_1}\\
{v_n} = {v_{n - 1}} + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_n} = {v_{n - 1}} + 1
\end{array} \right.\]
Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 1
Suy ra,
\(\begin{array}{l}
{v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right).d = 1 + \left( {n - 1} \right).1 = n\\
\left. \begin{array}{l}
{v_1} = {u_2} - {u_1}\\
{v_2} = {u_3} - {u_2}\\
{v_3} = {u_4} - {y_3}\\
......\\
{v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}
\end{array} \right\} \Rightarrow {v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_n} = {u_{n + 1}} - {u_1}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} = 1 + 1 + 2 + 3 + .... + n = 1 + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{{n^2} + n + 2}}{2}
\end{array}\)
