Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}},\,\,\,\,\,\forall x,y > 0\) (Chứng minh bằng cách xét hiệu) ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{2x + y + z}} + \frac{1}{{x + 2y + z}} + \frac{1}{{x + y + 2z}}\\
= \frac{1}{4}\left( {\frac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} + \frac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {y + z} \right)}} + \frac{4}{{\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)}}} \right)\\
\le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x + z}} + \frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{x + z}} + \frac{1}{{y + z}}} \right)\\
= \frac{1}{{16}}\left( {\frac{4}{{x + y}} + \frac{4}{{x + z}} + \frac{4}{{x + y}} + \frac{4}{{y + z}} + \frac{4}{{x + z}} + \frac{4}{{y + z}}} \right)\\
\le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\\
\le \frac{1}{{16}}.4\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{{16}}.4.4 = 1
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{3}{4}\)
