Gọi $AC=b'>b$
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $F$ là tung điểm của $BC$, $G$ là trung điểm của $DC$.
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC\Rightarrow EF//AC$ và $EF=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{b'}{2}$
Tương tự $FG//BD$ và $FG=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{b}{2}$
$\Rightarrow\widehat{(AC,BD)}=\widehat{(EF,FG)}$
$BG$ là đường trung tuyến của $\Delta BCD$
$\Rightarrow BG^2=\dfrac{2(BD^2+BC^2)-DC^2}{4}=\dfrac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$
$\Delta ADC$: $AG^2=\dfrac{2(AD^2+AC^2)-DC^2}{4}=\dfrac{2(c^2+b'^2)-a^2}{4}$
$\Delta ABG$: $GE^2=\dfrac{2(BG^2+AG^2)-AB^2}{4}=\dfrac{2\dfrac{2b^2+4c^2+2b'^2-2a^2}{4}-a^2}{4}$
$=\dfrac{b^2+2c^2+b'^2-2a^2}{4}$
Áp dụng định lý Cosin vào $\Delta EFG$ có:
$EG^2=EF^2+FG^2-2.EF.FG.cos\widehat{EFG}$
$\Rightarrow \dfrac{b^2+2c^2+b'^2-2a^2}{4}=\dfrac{b'^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}-2.\dfrac{b'}{2}.\dfrac{b}{2}.\cos\widehat{EFG}$
$\Rightarrow\cos\widehat{EFG}=\dfrac{a^2-c^2}{bb'}$
$\Rightarrow\widehat{EFG}=\arccos\dfrac{a^2-c^2}{bb'}$
Nếu $\widehat{EFG}=\arccos\dfrac{a^2-c^2}{bb'}>90^o\Rightarrow \widehat{(AC,BD)}=180^o-\widehat{EFG}$
Nếu $\widehat{EFG}=\arccos\dfrac{a^2-c^2}{bb'}\le90^o\Rightarrow \widehat{(AC,BD)}=\widehat{EFG}$
