a) Chứng minh nếu $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$?
Xét $\Delta ABC$, vẽ hình bình hành $BGCD$, gọi $BC\cap GD$ tại $I\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo. Hay I là trung điểm của GD, $GD=2GI$ (*)
Ta có: $\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)
Lại có $\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec 0$ (giả thiết) (2)
Thay (1) vào (2) $\Rightarrow\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0\Rightarrow G$ là trung điểm của AD, AG=GD (**)
Từ (*) và (**) $AG=2GI$, G là trung điểm của AD nên G chia AD thành hai đoạn bằng nhau AG, GD, $I\in GD$ nên $I$ không thuộc AG
$\Rightarrow AG=2GI$ thì G nằm giữa AI
$\Rightarrow AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm (vì I là trung điểm của BC nên AI là trung tuyến cm ở (*)) (đpcm)
b) Nếu có điểm $O$ sao cho $\vec{OG}=\dfrac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$
Ta có:
$\vec{OG}=\dfrac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$
$\Leftrightarrow 3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$
$\Leftrightarrow3\vec{OG}=\vec{OG}+\vec{GA}+\vec{OG}+\vec{GB}+\vec{OG}+\vec{GC}$ (sử dụng quy tắc cộng)
$\Leftrightarrow\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$
Lấy lại chứng minh của câu a
$\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ (đpcm).
