a) Gọi hình chiếu từ $S$ lên $(ABC)$ là $O$
Vì $SA=SB=SC,SO$ chung
$\Rightarrow\Delta SAO=\Delta SBO=\Delta SCO$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
$\Rightarrow OA=OB=OC$ mà $\Delta ABC\bot A\Rightarrow O$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow M\equiv O$
$\Rightarrow SM \perp (ABC)$
$\Delta SBM\bot M,BM=\dfrac{BC}2=a,SB=a\sqrt5$
$\Rightarrow SM^2=SB^2-BM^2=5a^2-a^2=4a^2$
$ \Rightarrow SM=2a$
Hay chiều cao của hình chóp là 2a.
b)
Kẻ $MN \perp AB\Rightarrow N$ là trung điểm cạnh $BA$
$AB\bot SM$
$\Rightarrow AB\bot(SMN)$
Trong $\Delta SMN$ dựng $MH\bot SN\Rightarrow MH\bot AB$
$\Rightarrow MH\bot(SAB)$
$\Rightarrow d(M,(SAB))=MH$
Ta có $AB=MA=a (\Delta ABC$ là nữa tam giác đều)
$AC^2=BC^2-AB^2=4a^2-a^2=3a^2\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$
Xét $\Delta BMN $ và $\Delta BCA$ có:
$\widehat{B}$ chung
$\widehat{BNM}=\widehat{BAC}=90^{\circ}\\
\Rightarrow \Delta BMN \sim \Delta BCA(g.g)\\
\Rightarrow \dfrac{MN}{CA}=\dfrac{BM}{BC}\\
\Rightarrow MN=\dfrac{CA.BM}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Vì $SM \perp (ABC)\Rightarrow SM\perp MN\Rightarrow \Delta SMN$ vuông tại M.
Áp dụng định lý pytago trong tam giác vuông $SMN$ có:
$\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2}+\dfrac{1}{MN^2}\\
=\dfrac{1}{4a^2}+\dfrac{1}{\left ( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right )^2}\\
=\dfrac{19}{12a^2}\\
\Rightarrow MH=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}\\
\Rightarrow d(M,(SAB))=MH=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$
