Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ : $x\ge 1,y\ge -1\to x+y\ge 0$
Ta có :
$\begin{split}x+y&=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2}\\&=\sqrt{x-1}.1+\sqrt{y+1}.\sqrt{2}\\&\le \sqrt{(x-1+y+1)(1+2)}\\&=\sqrt{3}.\sqrt{x+y}\end{split}$
$\to x+y\le 3\to 0\le x+y\le 3$
Ta có :
$P=x^2+y^2+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}$
$\to P=x^2+y^2+2(xy+x+y+1)+8\sqrt{4-x-y}$
$\to P=(x+y)^2+2(x+y)+2+8\sqrt{4-x-y}$
Đặt $x+y=t\to 0\le t\le 3$
$\to P=t^2+2t+2+8\sqrt{4-t}$
$\to P'=2t+2-\dfrac{4}{2\sqrt{4-t}}$
$\to P'=0\to t\in\{0,1\pm2\sqrt{2}\}$
Xét hàm số trên đoạn $[0,3]$
$\to P_{min}=P(0)=18, P_{max}=P(3)=25\to M+m=43\to D$