a) Áp dụng định lý pitago vào $\Delta$ vuông $ABC$ ta có:
$AC^2=BC^2-AB^2=10^2-8^2=36$
$\Rightarrow AC=6$ cm
b) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta DMC$ có:
$MA=MD$ (giả thiết)
$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (đối đỉnh)
$MB=MC$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta AMB=\Delta DMC$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{MBA}=\widehat{MCD}$ (hai góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên $AB//CD$ mà $AB\bot AC$
$\Rightarrow CD\bot AC$ (đpcm)
Xét $\Delta$ vuông $ CHA$ và $\Delta$ vuông $ CHE$ có:
$CH$ chung
$HA=HE$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta CHA=\Delta CHE$ (ch-cgv)
$\Rightarrow CA=CE\Rightarrow \Delta CAE$ cân đỉnh C (đpcm)
Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDB$ có:
$MA=MD$ (giả thiết)
$\widehat{AMC}=\widehat{DMB}$ (đối đỉnh)
$MC=MB$ (giả thiết)
$\Rightarrow \Delta MAC=\Delta MDB$ (c.g.c)
$\Rightarrow AC=DB$ mà $AC=CE$ (cmt)
$\Rightarrow DB=CE$ (đpcm)
Xét $\Delta$ vuông $ MHA$ và $\Delta$ vuông $MHE$ có:
$HA=HE$
$HM$ chung
$\Rightarrow \Delta MHA=\Delta MHE$ (hai canh góc vuông)
$\Rightarrow MA=ME=MD$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta MAE$ cân đỉnh $M\Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{EAM}$
$\Delta MED$ cân đỉnh $M\Rightarrow \widehat{MED}=\widehat{EDM}$
$\Rightarrow \widehat{AEM}+\widehat{MED}=\widehat{EAM}+\widehat{EDM}$
hay $\widehat{AED}=\widehat{EAM}+\widehat{EDM}$
Mà $\widehat{AED}+\widehat{EAM}+\widehat{EDM}$ (tổng 3 góc trong tam giác)
$\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{EAM}+\widehat{MDE}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$
$\Rightarrow AE\bot DE$ (đpcm)
