Đáp án đúng: A
Gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ tiếp xúc của $f(x)$ và $g(x)$
$\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{x}_{0}}^{2}+3{{x}_{0}}-1}}{{{{x}_{0}}-2}}=-\frac{1}{6}{{x}_{0}}^{2}+\frac{5}{3}{{x}_{0}}+\frac{{53}}{6}\,\,\,\,\,\,(1)\\\frac{{{{x}_{0}}^{2}-4{{x}_{0}}-5}}{{{{{({{x}_{0}}-2)}}^{2}}}}=-\frac{{{{x}_{0}}}}{3}+\frac{5}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\,$
Lưu ý: Hệ trên có bao nhiêu nghiệm thì phương trình có bấy nhiêu tiếp tuyến chung
Giải (1) $\Rightarrow \,{{x}_{0}}^{3}-6{{x}_{0}}^{2}-15{{x}_{0}}+100=0\,\Rightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x=-4\\x=5\end{array} \right.$
Giải (2) $\Rightarrow \,{{x}_{0}}^{3}-6{{x}_{0}}^{2}+12{{x}_{0}}-35=0\,\Rightarrow {{x}_{0}}=5$
Suy ra ${{x}_{0}}=5$ là nghiệm duy nhất của hệ trên (Chỉ có duy nhất 1 tiếp tuyến chung)
Do đó tọa độ tiếp điểm A (5;13) và hệ số góc $k=f'(5)=g'(5)=0$
Khi đó phương trình tiếp tuyến chung có dạng $y=0(x-5)+13\,\Leftrightarrow \,y=13$
Đáp án A
