a. $\Delta ABC$ có đường cao $AI, BN$ cắt nhau tại $H\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\Rightarrow CH\bot AB,CH$ cắt $AB$ tại $M\Rightarrow CH\bot AB$ tại $M$
Tứ giác $AMHN$ có:
$\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^o+90^o=180^o$
$\Rightarrow\Diamond AMHN $ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$
b. Tương tự ta chứng minh được $\Diamond HMBI$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BH)$
Ta có $\widehat{ANB}=\widehat{AIB}=90^o$
$\Rightarrow N, I$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới một góc $90^o$
$\Rightarrow ANIB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AB)$
$\Rightarrow\widehat{NMH}=\widehat{NAH}=\widehat{NBI}=\widehat{HMI}$
$\Rightarrow MC$ là phân giác $\widehat{NMI}$
$ H\in MC$ nên $H$ cách đều NM,NI
c. Ta có $M, N$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^o$ nên $BMNC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (cùng bù $\widehat{NMB}$)
Ta có: $\Delta AMN\sim\Delta ACB$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}=\cos\widehat{BAC}$
$\Rightarrow MN=BC.\cos\widehat{BAC}$
d. Gọi $AK$ là đường kính của đường tròn
$\Rightarrow BH//CK(\perp AC)$,
$BK//CH(\perp AB)$
$\Rightarrow \Diamond BHCK$ là hình bình hành
$\Rightarrow KH\cap BC=E$ là trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow OE$ là đường trung bình $\Delta AHK\Rightarrow AH=2OE$
$\Delta AHK$ có $HO,AE$ là đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $\Delta AHK\Rightarrow \dfrac{EG}{EA}=\dfrac{1}{3}$
Kẻ $GD//AK, D\in (OE)\Rightarrow\dfrac{GD}{AO}=\dfrac{ED}{EO}=\dfrac{EG}{EA}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow D$ cố định $GD=\dfrac{1}{3}AO=\dfrac{R}{3}=const$
$\Rightarrow G\in(D,\dfrac{R}{3})$ cố định.
