Bài 1:
a, $\frac{x-1}{2009}$+$\frac{x-2}{2008}$= $\frac{x-3}{2007}$+$\frac{x-4}{2006}$
⇔ $\frac{x-1}{2009}$-1+$\frac{x-2}{2008}$-1= $\frac{x-3}{2007}$-1+$\frac{x-4}{2006}$-1
⇔ $\frac{x-2010}{2009}$+$\frac{x-2010}{2008}$= $\frac{x-2010}{2007}$+$\frac{x-2010}{2006}$
⇔ $(x-2010)$.( $\frac{1}{2009}$+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2006}$)= 0
⇔ x-2010= 0
⇔ x= 2010
b, G= 1+$\frac{1+2}{2}$+ $\frac{1+2+3}{3}$+...+ $\frac{1+2+3+..+20}{20}$
= 1+$\frac{2.3:2}{2}$+ $\frac{3.4:2}{3}$+...+ $\frac{20.21:2}{20}$
= 1+$\frac{3}{2}$+ $\frac{4}{2}$+...+ $\frac{21}{2}$
= 1+$\frac{3+4+...+21}{2}$ = 1+$\frac{(21+3)( 21-3+1):2}{2}$
=1+114
= 115 ( Áp dụng quy tắc tính tổng của dãy cách đều)
Bài 2:
a, với n= 0 thì 1+15= 16 là số chính phương
Với n≥ 1 thì ta có: 15⋮ 3; $2016^{n}$⋮ 3
⇒ Số chính phương tạo thành chia hết cho 3
Đặt $2016^{n}$+15= k²
⇒ k² tận cùng là 9
Mà $2016^{n}$ tận cùng là 6
⇒ $2016^{n}$+15 tận cùng là 1
⇒ k² tận cùng là 1
⇒ không có k thỏa mãn
Vậy n= 0 thì $2016^{n}$+15 là scp
b, 7.( x-2004)²= 23-y²
⇒ 23-y²≥ 0
⇔ y²≤ 23
Mà 7.( x-2004)²⋮ 7
⇒ 23-y²⋮ 7
Mà 23 chia 7 dư 2
⇒ y² chia 7 dư 2
Mà y²≤ 23 và y∈ N ⇒ y²= 16
⇒ y= 4
Khi y= 4 thì 23-y²= 7
⇔ 7.( x-2004)²= 7
⇔ ( x-2004)²= 1
⇔ x-2004= 1⇔ x= 2005
hoặc x-2004= -1⇔ x= 2003
c, x1.x2+x2.x3+...+xn.x1= 0
⇒ Có n cặp ( do các số lặp lại 2 lần, nhưng 2 số lại ghép thành 1 cặp)
⇒ Có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1
và có $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng -1
Với $\frac{n}{2}$ cặp có giá trị bằng 1 thì có 2 trường hợp:
+, Th1: $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng 1
+, Th2: $\frac{n}{4}$ số có giá trị bằng -1 ( $\frac{n}{4}$ số sẽ hợp lại thành 2 căp)
Mà số số hạng luôn là số tự nhiên ⇒ $\frac{n}{4}$ là số tự nhiên
⇒ n⋮ 4 ( đpcm)
Bài 3:
a, a³+3a²+5= $5^{b}$
⇔ a².( a+3)= 5.( $5^{b-1}$-1)
⇔ a².$5^{c}$= 5.( $5^{b-1}$-1)
⇔ a².$5^{c-1}$= $5^{b-1}$-1
Th1: Ta có: a².$5^{c-1}$⋮ 5
⇒ $5^{b-1}$-1⋮ 5
⇒ $5^{b-1}$= 1
⇒ b-1= 0
⇔ b= 1
⇒ $5^{b-1}$-1= 0
⇒ a².$5^{c-1}$= 0
⇒ a²= 0
⇔ a= 0
⇒ không thỏa mãn c
Th2: b≥ 1
⇒ $5^{c-1}$= 1
⇒ c-1= 0
⇒ c= 1
⇒ a= 5-3= 2
⇒ 2³+3.2²+5= $5^{b}$
⇒ b= 2
b, ( Tương tự câu 2b)
c, 2007ab= k²
Ta có: 200700≤ 2007ab≤ 200799
⇔ 447,99≤ k≤ 448,1
⇒ k= 448
⇒ 2007ab= k²= 200704
⇒ a= 0; b= 4
