a, Ta có: ΔABC cân tại A và AM là đường cao trong tam giác cân ABC

⇒ AM vừa là đường cao, vừa là tia phân giác góc BAC ⇒ đpcm

b, Xét ΔAMD và ΔAME có:

D=E=90 độ

AM là cạnh huyền chung

A1=A2 (chứng minh ý a)

⇒ ΔAMD=ΔAME (ch-gn)

⇒ AD=AE (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔADE cân tại A ⇒ đpcm

- Xét ΔADE có: A+D+E=180 độ

⇒ 120+2D=180 độ

⇒ 2D=60 độ

⇒ D=30 độ (1)

- Xét ΔABC có: A+B+C=180 độ

⇒ 120+2B=180 độ

⇒ 2B=60 độ

⇒ B=30 độ (2)

- Từ (1) và (2) ⇒ADE=ABC=30 độ mà chúng ở vị trí đồng vị

⇒ DE//BC ⇒ đpcm

c, - Xét ΔAME có: A+M+E=180 độ

⇒ (120:2)+90+M=180 độ

⇒ 150+M=180 độ

⇒ M=30 độ

mà AME=AMD (vì: ΔAMD=ΔAME)

⇒ AME=AMD=30 độ

⇒ AME+AMD=30+30=60 độ

và DM=ME (vì: ΔAMD=ΔAME)

⇒ ΔMDE đều (dấu hiệu: tam giác cân có 1 góc =60 độ là tam giác đều)

d, Ta có: AM//FC (vì: M=C=90 độ mà chúng ở vị trí đồng vị)

⇒ AFC=BAM=60 độ

Có FAC=180-BAC=180-120=60 độ

Xét ΔAFC có: A+F+C=180 độ

⇒ 60+60+C=180 độ

⇒ 120+C=180 độ

⇒ C=180-120=60 độ

Ta có: ΔAFC có: A=F=C 60 độ

⇒ΔAFC đều

⇒AF=CF=6 (cm) ⇒đpcm

*Hình dưới:

a, Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$ có: 

$AM$ chung 

$\widehat{AMB}= \widehat{ AMC}= 90 ^o$ 

$AB= AC$ 

$\Rightarrow\Delta  AMB= \Delta AMC$ (ch.cgv) 

$\Rightarrow\widehat{ BAM}= \widehat{ CAM}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

Vậy $AM$ phân giác góc $\widehat{BAC}$ 

b, Xét $\Delta ADM$ và $\Delta AEM$ có: 

$\widehat{ MDA}= \widehat{ MEA}= 90^o$ 

$\widehat{ MAD}= \widehat{ MAE}$ (vì $AM$ phân giác) 

$AM$ chung 

$\Rightarrow\Delta ADM= \Delta AEM$ (1) (ch.gn) 

$\Rightarrow AD= AE \Rightarrow$ Tam giác ADE cân A 

$\Rightarrow\widehat{  ADE}= \dfrac{180^o - \widehat A}{2}$ 

Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh A $\widehat{ ABC}= \dfrac{180^o- góc A}{2}$

$\Rightarrow\widehat{ ADE}= \widehat{ ABC}$ 

$\Rightarrow DE//BC$ (đồng vị) 

c, (1) $\Rightarrow MD= ME; \widehat{ DMA}= \widehat{ EMA}$

$\Rightarrow \Delta DME$ cân tại M (*)

Có $\widehat{DAE}= 120^o  \Rightarrow\widehat{ DAM}= 60 ^o$ 

$\Delta DMA \bot D có \widehat{ DMA}= 180^o-90^o-60^o= 30^o$ 

$\Rightarrow\widehat{ DME}= 2.\widehat{DMA}= 60 ^o$ (**) 

Từ (*) và (**) suy ra tam giác DME đều 

d, Có $\widehat{ BAC}= 120^o\Rightarrow\widehat{ FAC}= 180^o-120^o= 60^o$ 

Tam giác ABC cân A có $\widehat{ ACB}= \dfrac{180-120}{2}= 30^o$ 

Mà $\widehat {FCB}= 90^o\Rightarrow\widehat{ ACF}= 90-30= 60 ^o$ 

Tam giác AFC có $\widehat{ FAC}= \widehat{ ACF}= 60 ^o$ nên là tam giác đều

$\Rightarrow AF=CF=6cm$.