Đáp án:
$a+b=1$
Giải thích các bước giải:
Do hàm số $F(x)=(ax+b)\sqrt{4x+1}$ là nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{12x}{\sqrt{4x+1}}$
Nên ta có:
$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx$
Hay $ F\left(x\right)=\int \dfrac{12x}{\sqrt{4x+1}}dx$
Đặt $u=\sqrt{4x+1}\to du=\dfrac{4}{2\sqrt{4x+1}}dx=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}dx$
$4x+1=u^2\to x=\dfrac{u^2-1}{4}$
$\to F\left(x\right)=\int 6x.\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}dx$
$\to F\left(x\right)=\int 6\cdot\dfrac{u^2-1}{4}du$
$\to F\left(x\right)=\dfrac32\int u^2-1du$
$\to F\left(x\right)=\dfrac32\left(\dfrac{u^3}{3}-u\right)$
$\to F\left(x\right)=\dfrac32\left[\dfrac{\left(\sqrt{4x+1}\right)^3}{3}-\sqrt{4x+1}\right]$
$\to F\left(x\right)=\left(2x-1\right)\sqrt{4x+1}=(ax+b)\sqrt{4x+1}$
$\to a=2,b=-1\to a+b=1$.
