Bài 1:

1) Ta có: $P=\dfrac{a-4}{a+2\sqrt a}=\dfrac{(\sqrt a+2)(\sqrt a-2)}{\sqrt a(\sqrt a+2)}=\dfrac{\sqrt a-2}{\sqrt a}=1-\dfrac{2}{\sqrt a}$

Với $a=\dfrac{16}{9} $ thì $P=1-\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{16}{9}}}=\dfrac{-1}{2}$

2) $Q=\dfrac{\sqrt a-3}{a-4}-\dfrac{\sqrt a+3}{a+4\sqrt a+4}$

$=\dfrac{\sqrt a-3}{(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)}-\dfrac{\sqrt a+3}{(\sqrt a+2)^2}$

$=\dfrac{(\sqrt a-3)(\sqrt a+2)-(\sqrt a+3)(\sqrt a-2)}{(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)^2}=\dfrac{a-\sqrt a-6-(a+\sqrt a-6)}{(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)^2}$

$=\dfrac{-2\sqrt a}{(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)^2}$

3) Xét $P.Q=\dfrac{\sqrt a-2}{\sqrt a}.\dfrac{-2\sqrt a}{(\sqrt a-2)(\sqrt a+2)^2}=\dfrac{-2}{(\sqrt a+2)^2}=\dfrac{3}{4(\sqrt a+2)}$

$\Rightarrow \dfrac{-2}{\sqrt a+2}=\dfrac{3}{4}$

$\Rightarrow \sqrt a+2=\dfrac{-8}{3}$ do $\sqrt a\ge0\Rightarrow VT\ge2$ mà VT<0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy không có giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Bài 2: Gọi số giờ vòi thứ nhất chảy đầy bể là a giờ (a>0)

Số giờ vòi thứ hai chảy đầy bể là b (giờ) (b>0)

Nên trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{a}$ (bể)

Trong 1 giờ vòi thứ 2 chảy được $\dfrac{1}{b}$ (bể)

Nếu hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 2 giờ 24 phút = 2,4 giờ thì đầy bể nên ta có:

$2,4\dfrac{1}{a}+2,4\dfrac{1}{b}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{12}$ (1)

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 20 phút=$\dfrac{1}{3}$ giờ rồi khóa lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 15 phút =0,25 giờ thì sẽ được $\dfrac{1}{8}$ bể nên ta có phương trình:

$\dfrac{1}{3}\dfrac{1}{a}+0,25\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{12}\\ \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{a}+0,25\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}=\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{b}\\ \dfrac{1}{3}\left({\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{b}}\right)+0,25\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{8}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}=\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{b}\\ \dfrac{1}{12}\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{72}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=4\\ b=6\end{array} \right.$

Vậy vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 6 giờ.

Bài 3:

1) Đk: $x+2>0$ và $x+y>0$ $\Leftrightarrow x>2$ và $y\ge-2$

Đặt $\sqrt {x+2}=a$ (a>0) và $\sqrt{x+y}=b$ (b>0)

Theo có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} 6a=b\\ \dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 6a=b\\ \dfrac{3}{6a}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 6a=b\\ \dfrac{1}{2a}+\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 6a=b\\ \dfrac{1+4}{2a}=\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} b=30\\a=5\end{array} \right.(tm)$

$\Rightarrow \sqrt{x+2}=5\Rightarrow x+2=25\Rightarrow x=23$ (tm)

$\Rightarrow\sqrt{x+y}=30\Rightarrow 23+y=900\Rightarrow y=877$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $x=23$ và $y=877$

2) a) Với m=2 ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l} x+y=-4\\x-y=3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3+y+y=-4\\x=3+y\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=\dfrac{-7}{2}\\x=\dfrac{-1}{2}\end{array} \right.$

b) Cộng vế với vế của hpt ta có:

$mx=m-3$ với $m=0\Rightarrow 0=-3$ vô lý

nên $x=\dfrac{m-3}{m}$

$\Rightarrow y=x-m-1=\dfrac{m-3}{m}-m-1=\dfrac{-m^2-3}{m}$

Th1: $x,y $ mang cùng dấu âm:

$\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{m-3}{m}<0\\y=\dfrac{-m^2-3}{m}<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}m-3<0\\m>0\end{array} \right.\\\left\{\begin{array}{l} m-3>0\\m<0\end{array} \right.\end{array} \right.\\m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow 0<m<3$

Th2: $x,y$ mang cùng dấu dương ta có:

$\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{m-3}{m}>0\\y=\dfrac{-m^2-3}{m}>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}m-3<0\\m<0\end{array} \right.\\\left\{\begin{array}{l} m-3>0\\m>0\end{array} \right.\end{array} \right.\\m<0\end{array} \right.\Leftrightarrow m<0$

Vậy với $m<3$ và $m\ne 0$ thì hệ phương trình có nghiệm x, y duy nhất cùng dấu.

Bài 4:

a) $\Delta OAB$ cân đỉnh O (OA=OR) E là trung điểm của AB nên OE là đường trung tuyến, OE cũng là đường cao

$\Rightarrow OE\bot AB\Rightarrow \widehat{OEC}=90^o$

Do CN là tiếp tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm N, nên $ON\bot CN\Rightarrow \widehat{CNO}=90^o$

Tứ giác $CEON$ có $\widehat{CEO}+\widehat{CNO}=1800^o$ (tổng hai góc đối nhau bằng $180^o$)

$\Rightarrow CENO$ nội tiếp đường tròn đường kính $(CO)$

Vậy $A, E,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $(CO)$ (đpcm)

b) Xét $\Delta CAN$ và $\Delta CNB$ có:

$\widehat C$ chung

$\widehat{CNA}=\widehat{CBN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AN= góc nội tiếp chắn cung AN)

$\Rightarrow \Delta CAN\sim\Delta CNB$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{CA}{CN}=\dfrac{CN}{CB}\Rightarrow CN^2=CA.CB$ (đpcm)

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $CNO\bot N$ đường cao $NH$ có:

$CN^2=CH.CO=CA.CB$ (cm câu b)

Xét $\Delta CAH$ và $\Delta COB$ có:

$\widehat C$ chung

$\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CO}$ (do $CH.CO=CA.CB$ cmt)

$\Rightarrow \Delta CAH\sim\Delta COB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{CHA}=\widehat{CBO}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{CBO}=\widehat{OAB}$ ($\Delta OAB$ cân đỉnh O)

$\Rightarrow \widehat{CHA}=\widehat{OAB}$ (đpcm)

d) Ta có: $\widehat{CNI}=\widehat{IDN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung IN)

$\widehat{IDN}=\widehat{INH}$ (cùng $+\widehat{NIH}=90^o$)

$\Rightarrow \widehat{CNI}=\widehat{INH}\Rightarrow NI$ là phân giác $\widehat{CNH}$

Mà $IN\bot ND$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow ND$ là phân giác ngoài $\widehat CNH$ của $\Delta CNH$ nên ta có:

$\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{NC}{NH}=\dfrac{DC}{DH}$

$\Rightarrow IC.DC=IH.DH$ (đpcm)

5) Gọi tam giác giăng lưới là tam giác ABC như hình

Gọi độ dài cạnh AG là a (a>0) (mét)

Xét $\Delta AGH$ và $\Delta HIB$ có:

$\widehat{G}=\widehat I=90^o$

$\widehat{A}=\widehat H$ (2 góc ở vị trí đồng vị)

$\Rightarrow \Delta AGH\sim\Delta HIB$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AG}{HI}=\dfrac{GH}{IB}\Rightarrow IB=\dfrac{60}{x}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}(5+x)(12+\dfrac{60}{x})=60+6x+\dfrac{150}{x}$

Theo bất đẳng thức Cau-chy:

$6x+\dfrac{150}{x}\ge2\sqrt{6x.\dfrac{150}{x}}=60$

$\Rightarrow S_{ABC}\ge60+60=120$ $m^2$

 $\Rightarrow S_{ABCmin}=120$ $m^2 $ dấu "=" xảy ra khi $6x=\dfrac{150}{x}\Rightarrow x=5$