\(a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(c^2-a^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=a^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left(a^2-c^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=a^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left(a^2-c^2+b^2-b^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=a^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left[\left(b^2-c^2\right)+\left(a^2-b^2\right)\right]+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=a^3\left(b^2-c^2\right)-\left[b^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(a^2-b^2\right)\right]+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=a^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left(a^2-b^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)

\(=\left(a^3\left(b^2-c^2\right)-b^3\left(b^2-c^2\right)\right)-\left[b^3\left(a^2-b^2\right)-c^3\left(a^2-b^2\right)\right]\)

\(=\left(b^2-c^2\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a^2-b^2\right)\left(b^3-c^3\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[\left(b+c\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a+b\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[\left(a^2b+ab^2+b^3+a^2c+abc+b^2c\right)-\left(ab^2+abc+ac^2+b^3+b^2c+bc^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2b+ab^2+b^3+a^2c+abc+b^2c-ab^2-abc-ac^2-b^3-b^2c-bc^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2b+a^2c-ac^2-bc^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[\left(a^2c-ac^2\right)+\left(a^2b-bc^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[ac\left(a-c\right)+b\left(a^2-c^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[ac\left(a-c\right)+b\left(a-c\right)\left(a+c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left[ac+b\left(a+c\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(ac+ab+bc\right)\)