a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // DC
Ta có BE = $\frac{1}{2}$.AB , DF = $\frac{1}{2}$.DC
⇒ BE = DF
Xét tứ giác DEBF có:
BE = DF, BE // DF ( AB // CD )
⇒ DEBF là hình bình hành
b, Ta có: AE = BE = DF
Xét tứ giác AEFD có:
AE = DF, AE // DF ( AB // CD )
⇒ AEFD là hình bình hành
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC
Ta có AB = 2.BC ⇒ AD = BC = $\frac{1}{2}$.AB
AE = $\frac{1}{2}$.AB
⇒ AD = AE
Xét hình bình hành AEFD có AD = AE
⇒ AEFD là hình thoi
c, Vì AEFD là hình thoi nên EF = DF
Ta có AD = $\frac{1}{2}$.DC ⇒ EF = DF = $\frac{1}{2}$.DC
⇒ ΔDEC vuông tại vuông tại E ( tính chất của tam giác vuông )
⇒ ∠DEC = $90^{o}$ hay ∠MEN = $90^{o}$
Chứng minh tương tự ta cũng có ∠NFM = $90^{o}$
Theo câu b, ta có AEFD là hình thoi
⇒ AF ⊥ ED ( tính chất của hình thoi )
⇒ ∠EMF = $90^{o}$
Xét tứ giác MENF có ∠MEN = $90^{o}$ , ∠NFM = $90^{o}$ , ∠EMF = $90^{o}$
⇒ MENF là hình chữ nhật
d, Nếu MENF là hình vuông thì ME = MF
⇒ DE = AF
Xét hình thoi AEFD có DE = AF
⇒ AEFD là hình vuông ⇒ ∠DAE = $90^{o}$ hay ∠DAB = $90^{o}$
Xét hbh ABCD có ∠DAB = $90^{o}$
⇒ ABCD là hình chữ nhật
