Giải thích các bước giải:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội bằng \(q\) là:
\(\begin{array}{l}
{S_n} = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{S_n} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}};\,\,\,{u_2} = - \sqrt 2 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{q}\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{{q\left( {1 - q} \right)}}\\
\Leftrightarrow 2\sqrt 2 q\left( {q - 1} \right) = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2\sqrt 2 {q^2} - 2\sqrt 2 q - \left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
q = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {u_1} = 2\\
q = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {u_1} = - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{u_n} =u_1q^{n-1}= 2.{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}\\
{u_n} = \dfrac{{ - 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}.{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy khai triển cấp số nhân lùi vô hạn $u_n$ là:
${u_n} = 2.{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}$ và ${u_n} = \dfrac{{ - 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}.{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{n - 1}}$.
