$\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\overrightarrow{BC}\\ =(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\overrightarrow{BC}\\ =\overrightarrow{AC}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\overrightarrow{BC}\\ =(\overrightarrow{AC}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\overrightarrow{DB})+(\overrightarrow{CB}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\overrightarrow{CB})\\ =\overrightarrow{AC}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\overrightarrow{CB}\\ =\overrightarrow{CB}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})\\ =\overrightarrow{0}$