a, Xét ΔBAH và ΔACK , ta có:
AB = AC
\(\widehat{ABH}\)=\(\widehat{CAK}\) ( cùng phụ với \(\widehat{BAE}\)
\(\widehat{AHB}\) = \(\widehat{CKA}\) ( hai góc vuông)
=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BH = AK
b, ΔABC vuông cân tại A có AM là đường trung tuyến
=> AM là đường cao và AM = BM = CM
=> \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{MAC}\) (= 45 độ)
=> \(\widehat{ABM}\) - \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{MAC}\) - \(\widehat{CAK}\) ( \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{CAK}\) do ΔBAH = ΔACK)
=> \(\widehat{HBM}\) = \(\widehat{MAK}\)
Xét ΔHBM và ΔKAM ta có:
BH = AK
\(\widehat{HBM}\) = \(\widehat{MAK}\)
BM = AM
=> ΔHBM = ΔKAM (c-g-c) (đpcm)
c, ΔHBM = ΔKAM
=> HM = KM
=> ΔMHK cân tại M (1)
Xét ΔAHM và ΔCKM ta có:
AM = CM
HM = KM
AH = CK (do ΔBAH = ΔACK chứng minh câu a)
=> ΔAHM = ΔCKM ( c-c-c)
=> \(\widehat{AMH}\) = \(\widehat{CMK}\)
=> \(\widehat{HBM}\) +\(\widehat{HMC}\) = \(\widehat{MAK}\) + \(\widehat{HMC}\)
=> \(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{HMK}\)
=> 90\(^{\circ}\) = \(\widehat{HMK}\)
=> ΔHMK vuông tại M (2)
Từ (1) và (2) => ΔHMK vuông cân tại M
