Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Áp dụng tính chất của hàm số mũ: \({a^{{{\log }_b}c}} = {c^{{{\log }_b}a}}\) để tìm mối quan hệ giữa a và b.
- Thay giá trị của \(a;b\) vào biểu thức P rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Giải chi tiết:Theo bài ra ta có \({a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}\left( {{x^2}} \right)}} \Rightarrow {x^{{{\log }_b}a}} = {x^{2{{\log }_a}b}}\)
\( \Rightarrow {\log _b}a = 2{\log _a}b = \dfrac{2}{{{{\log }_b}a}}\)\( \Leftrightarrow \log _b^2a = 2\) \( \Leftrightarrow {\log _b}a = \sqrt 2 \Rightarrow a = {b^{\sqrt 2 }}\) (do \(a > 1,\,\,b > 1\) nên \({\log _b}a > {\log _b}1 = 0\))
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b - \ln \left( {ab} \right)\\\,\,\,\,\, = {\ln ^2}\left( {{b^{\sqrt 2 }}} \right) + {\ln ^2}b - \ln \left( {{b^{\sqrt 2 }}.b} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {\sqrt 2 \ln b} \right)^2} + {\ln ^2}b - \ln \left( {{b^{\sqrt 2 + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = 3{\ln ^2}b - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\ln b\\\,\,\,\,\, = 3\left( {{{\ln }^2}b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{3}\ln b} \right)\\\,\,\,\,\, = 3\left[ {{{\ln }^2}b - 2.\ln b.\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6} + {{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)}^2}} \right] - 3.{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 3{\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}\)
Ta có: \({\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall b > 0\) \( \Rightarrow 3{\left( {\ln b - \dfrac{{1 + \sqrt 2 }}{6}} \right)^2} - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}} \ge - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\).
\( \Rightarrow P \ge - \dfrac{{3 + 2\sqrt {12} }}{{12}}\).
Vậy \({P_{\min }} = - \dfrac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{12}}\).
Chọn D.
