Biết \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} - z + 1 = 0.\) Tính \(\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|.\) A.\(0\) B.\(1\) C.\(4\) D.\(2\)
Phương pháp giải: Cách 1: Giải phương trình đã cho tìm \({z_1},\,\,{z_2}\) rồi tính biểu thức đề bài cho. Cách 2: Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\) Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right]\) rồi tính modun hai vế. Giải chi tiết:Xét phương trình: \({z^2} - z + 1 = 0\) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\) Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right]\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = 1\left( {{1^2} - 3} \right)\\ \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = - 2\\ \Rightarrow \left| {z_1^3 + z_2^3} \right| = \left| { - 2} \right| = 2.\end{array}\) Chọn D.