Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1} \right)\).A.\(2\)B.\(\dfrac{3}{

Hanh672000

2 năm trước

Cho hai số dương \(x,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1} \right)\).
A.\(2\)
B.\(\dfrac{3}{2}\)
C.\(\dfrac{5}{2}\)
D.\(3\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 16 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

phongxd

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
Đặt \(S = x + y,P = xy,S > 0,P > 0.\) Áp dụng định lý Vi-et đảo để làm bài tập.
Giải chi tiết:Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\,\,\,\left( {S > 0} \right)\\P = xy\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {P > 0} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + xy}}{{xy}} + 1} \right) \Leftrightarrow T = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2T = \frac{{{S^2} - 2P}}{P} + 1 \Leftrightarrow \left( {2T - 1} \right)P = {S^2} - 2P\\ \Leftrightarrow \left( {2T + 1} \right)P = {S^2} \Rightarrow P = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}}\end{array}\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 6xy\left( {x + y - 2} \right) = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 2.3xy\left( {x + y} \right) - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x + y} \right)^3} - 12xy = {\left( {x + y} \right)^2}\left( {xy + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12P = {S^2}\left( {P + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2{S^3} - 12.\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} = {S^2}\left( {\frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S - \frac{{12}}{{2T + 1}} = \frac{{{S^2}}}{{2T + 1}} + 4\\ \Leftrightarrow {S^2} + 4\left( {2T + 1} \right) - 2\left( {2T + 1} \right)S + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {S^2} - 2\left( {2T + 1} \right)S + 8T + 16 = 0 & \left( 1 \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2T + 1} \right)^2} - 8T - 16 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 4{T^2} - 4T - 15 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}T \ge \frac{5}{2}\\T \le - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T \ge \frac{5}{2}.\)
Vậy \(\min T = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 6\\P = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 3 \\x = 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - \sqrt 3 \\x = 3 + \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Ngành công nghiệp được coi là ngành kinh tế mũi nhọn của Liên Bang Nga là:
A.Công nghiệp khai thác dầu khí
B.Công nghiệp luyện kim.
C.Công nghiệp khai thác than
D.Công nghiệp điện lực

Một vật có khối lượng m treo vào một lò xo có độ cứng \({k_1}\) thì chu kì dao động của nó là \({T_1} = 1\,\,s\). Thay bằng lò xo có độ cứng \({k_2}\) thì chu kì dao động là \({T_2} = 0,9\,\,s\). Thay bằng một lò xo khác có độ cứng \(k = 3{k_1} + 2{k_2}\) thì chu kì dao động của lò xo là?
A.\(0,98\,\,s\)
B.\(0,43\,\,s\)
C.\(2,83\,\,s\)
D.\(0,85\,\,s\)

Hai lò xo \({L_1},{L_2}\) có chiều dài tự nhiên là \({l_{01}} = 90\,\,cm\) và \({l_{02}} = 100\,\,cm\), độ cứng \({k_1} = 100\,\,N/m\) và độ cứng \({k_2} = 150\,\,N/m\) móc với vật \(m = 100\,\,g\) có kích thước không đáng kể vào hai điểm cố định A, B cách nhau \(200\,\,cm\) như hình vẽ. Chọn gốc O trùng với VTCB, chiều dương từ A đến B. Kích thích dao động bằng cách kéo vật tới vị trí để lò xo \({L_1}\) không biến dạng rồi truyền cho vật vận tốc \(v = 3\sqrt 3 \,\,m/s\) theo chiều từ B đến A. Chọn lúc đó làm gốc thời gian. Phương trình dao động của vật là
A.\(x = 12\cos \left( {50t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)
B.\(x = 10\cos \left( {50t + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)
C.\(x = 12\cos \left( {50t - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)
D.\(x = 10\cos \left( {50t - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\,\,\left( {cm} \right)\)

Điểm nào sau đây không đúng với các nước Đông Nam Á?
A.Tranh thủ được nguồn vốn, công nghệ nước ngoài.
B.Tài nguyên nhiên và nguồn nông phẩm nhiệt đới phon phú.
C.Nguồn nhân công dồi dào.
D.Chủ yếu nhập nguyên liệu và khoáng sản

Một con lắc lò xo được đặt nằm ngang gồm lò xo có độ cứng \(k = 40\,\,N/m\) và vật nặng khối lượng \(m = 400\,\,g\). Từ vị trí cân bằng kéo vật ra một đoạn \(8\,\,cm\) rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Sau khi thả vật \(\dfrac{{7\pi }}{{30}}\,\,s\) thì giữ đột ngột điểm chính giữa của lò xo khi đó. Biên độ dao động của vật sau khi giữ lò xo là
A.\(2\sqrt 6 \,\,cm\)
B.\(2\sqrt 5 \,\,cm\)
C.\(2\sqrt 7 \,\,cm\)
D.\(4\sqrt 2 \,\,cm\)

Việc bảo vệ môi trường của nhiều nước Đông Nam Á chưa được quan tâm đúng mức trong quá trình phát triển kinh tế đã làm cho
A.thất nghiệp ngày càng tăng
B.cảnh quan thiên nhiên bị phá hoại.
C.sản xuất công nghiệp bị trì trệ.
D.tài nguyên khoáng sản bị cạn kiệt.

Nhận xét không đúng về đặc điểm tự nhiên và tài nguyên thiên nhiên Nhật Bản là:
A.Đồng bằng nhỏ, hẹp ven biển.
B.Sông ngòi ngắn và dốc
C.Nghèo khoảng sản nhưng than đá có trữ lượng lớn.
D.Địa hình chủ yếu là đồi núi.

Các trung tâm công nghiệp của Liên bang Nga không tập trung ở vùng?
A.Đồng bằng Tây Xi-bia
B.Đồng bằng Đông Âu.
C.Vùng núi già Uran.
D.Vùng Viễn Đông.

Chiếm khoảng 40% giá trị hàng công nghiệp xuất khẩu của Nhật Bản đó là ngành?.
A.Công nghiệp dệt, vải các loại, sợi.
B.Công nghiệp chế tạo.
C.Công nghiệp sản xuất điện tử.
D.Công nghiệp công nghiệp xây dựng và công trình công cộng.

Nhận xét không đúng về đặc điểm miền Đông Trung Quốc là:
A.Từ Bắc xuống Nam khí hậu chuyển từ ôn đới gió mùa sang cận nhiệt đới gió mùa
B.Dân cư tập trung đông đúc, nông nghiệp trù phú.
C.Nghèo khoáng sản, chỉ có than là đáng kể.
D.Có đồng bằng rộng lớn, đất đai màu mỡ.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến