Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{a^3} + 8}}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^3} + 8}}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{c^3} + 8}}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}}\)với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(abc = 1.\)A.\(\frac{21}{2}\)B.\(\frac{

ctvloga387

2 năm trước

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{a^3} + 8}}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^3} + 8}}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{c^3} + 8}}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}}\)với \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(abc = 1.\)
A.\(\frac{21}{2}\)
B.\(\frac{25}{2}\)
C.\(\frac{25}{4}\)
D.\(\frac{27}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 38 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

minkeygoku169

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
Sử dụng câu a và bất đẳng thức Cauchy.
Giải chi tiết:\(P = \frac{{{a^3} + 8}}{{{a^3}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{b^3} + 8}}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{c^3} + 8}}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}}\)
\(P = \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}} + \frac{8}{{{a^3}.\left( {b + c} \right)}} + \frac{8}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \frac{8}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}}\)
Đặt \(x = \frac{1}{a};y = \frac{1}{b};z = \frac{1}{c} \Rightarrow x,y,z > 0\) và \(xyz = 1\).
\(P = \left( {\frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} + \frac{{xy}}{{x + y}}} \right) + 8\left[ {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right]\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{yz}}{{y + z}}.\frac{{y + z}}{4}} = \sqrt {yz} \\\frac{{zx}}{{z + x}} + \frac{{z + x}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{zx}}{{z + x}}.\frac{{z + x}}{4}} = \sqrt {zx} \end{array}\)
\(\frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{4} \ge 2\sqrt {\frac{{xy}}{{x + y}}.\frac{{x + y}}{4}} = \sqrt {xy} \)
Suy ra : \(\frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} + \frac{{xy}}{{x + y}} + \frac{{x + y + z}}{2} \ge \sqrt {xy} + \sqrt {yz} + \sqrt {zx} \ge 3\sqrt[3]{{\sqrt {{x^2}{y^2}{z^2}} }} = 3\)
\( \Rightarrow \frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} + \frac{{xy}}{{x + y}} \ge 3 - \frac{{x + y + z}}{2} (1)\)
Áp dụng bất đẳng thức ở câu a, ta có:
\(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{{x + y + z}}{2}\)
Suy ra : \(8\left[ {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right] \ge 4\left( {x + y + z} \right) (2)\)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
\(\frac{{yz}}{{y + z}} + \frac{{zx}}{{z + x}} + \frac{{xy}}{{x + y}} + 8\left[ {\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right] \ge 3 + \frac{{7\left( {x + y + z} \right)}}{2}\)
Suy ra : \(P \ge 3 + \frac{{7\left( {x + y + z} \right)}}{2} \ge 3 + \frac{7}{2}.3\sqrt[3]{{xyz}} = 3 + \frac{{21}}{2} = \frac{{27}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = 1 \Rightarrow a = b = c = 1\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow a = b = c = 1\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 11, hãy cho biết loại đất nào có diện tích lớn nhất ở khu vực đồi núi nước ta?
A. Đất feralit trên đá badan
B.Đất feralit trên đá vôi
C.Đất feralit trên các loại đá khác
D.Các loại đất khác và núi đá

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 13 và 14, hãy cho biết vùng núi nào sau đây chạy theo hướng tây bắc–đông nam?
A.Đông Bắc và Tây Bắc
B.Tây Bắc
C.Đông Bắc
D.Trường Sơn Nam

Chất nào sau đây không phải chất điện li?
A.CH3COOH.
B.HCl.
C.C2H5OH.
D.NaCl.

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 13 và14, hãy cho biết Đồng bằng Bắc Bộ thuộc miền tự nhiên nào sau đây?
A.Miền Nam Trung Bô ̣vàNam Bộ
B.Miền Bắc
C.Miền Tây Bắc và Bắc Trung Bộ
D.Miền Bắc và Đông Bắc Bắc Bộ

Cho bột sắt vào dung dịch AgNO3 dư, sau phản ứng thu được 32,4 gam Ag. Khối lượng bột sắt ban đầu là
A.5,6 gam.
B.8,4 gam.
C.11,2 gam.
D.16,8 gam.

Chia m gam Al thành hai phần bằng nhau. Phần 1 đem tác dụng với dung dịch HCl dư thu được V1 lít H2. Phần 2 đem tác dụng với dung dịch NaOH dư thu được V2 lít H2. Biểu thức liên hệ giữa V1 và V2 là
A.V1 = 2V2.
B.V2 = 2V1.
C.V1 = V2.
D.2V2 = 3V1.

Thủy phân hoàn toàn tristerin trong dung dịch KOH, sau phản ứng thu được muối X. Công thức hóa học của muối X là
A.C17H35COONa.
B.C17H33COONa.
C.C17H35COOK.
D.C17H33COOK.

Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 13, hãy cho biết dọc theo lắt cắt địa hình từ C đến D (C-D) cao nguyên Mộc Châu nằm ở độ cao là:
A.1000m -1500m
B.1500m
C.1000m
D.200m-1000m

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2},\) các đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = - \frac{1}{4}x.\) Viết phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\), biết \({d_2}\) vuông góc với \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(\sqrt 5 AB = \sqrt {17} OI,\) với \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\)
A.\({d_2}:y = 4x + 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 3.\)
B.\({d_2}:y = 4x - 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 4.\)
C.\({d_2}:y = 4x + 2\) hoặc \({d_2}:y = 4x - 4.\)
D.\({d_2}:y = 4x - 1\) hoặc \({d_2}:y = 4x + 3.\)

Thạch cao khan có công thức hóa học là
A.CaSO4.
B.CaSO4.H2O.
C.CaSO4.2H2O.
D.CaSO4.3H2O.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến