Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất hình thang cân: ABCD là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)
- \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), tham số hóa tọa độ điểm \(D\).
- Thay vào biểu thức \(\) rồi tìm D.
- Loại trường hợp \(\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} \) cùng phương.
Giải chi tiết:
Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\)
Ta có: \(A\left( {3;1; - 2} \right);\,\,\,B\left( { - 1;3;2} \right);\,\,\,C\left( { - 6;3;6} \right);\,\,\,D\left( {a;b;c} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {4; - 2; - 4} \right);\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {a + 6;b - 3;c - 6} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {CD} = k\overrightarrow {BA} \,\,\left( {k > 0} \right)\), khi đó ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + 6 = 4k\\b - 3 = - 2k\\c - 6 = - 4k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4k - 6\\b = - 2k + 3\\c = - 4k + 6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {4k - 6; - 2k + 3; - 4k + 6} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC \Leftrightarrow A{D^2} = B{C^2}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4k - 9} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2} + {\left( { - 4k + 8} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} + {0^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow 36{k^2} - 144k + 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Với \(k = 3 \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 6} \right)\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( {3; - 4; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;0;4} \right)\) không cùng phương (thỏa mãn).
Với \(k = 1 \Rightarrow D\left( { - 2;1;2} \right)\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AD} = \left( { - 5;0;4} \right),\,\,\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;0;4} \right)\) cùng phương (không thỏa mãn).
Vậy \(D\left( {6; - 3; - 6} \right) \Rightarrow a + b + c = - 3.\)
Chọn D.
