Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng chứa đường thẳng kia và vuông góc với đường thẳng này.
- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh, đổi về tính khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\): Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng định lí Ta-lét và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Ta có: \(SC \subset \left( {SCD} \right)\), lại có \(AB\parallel CD \Rightarrow AB\parallel \left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Ta có: \(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3}\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Kẻ \(HI \bot CD\,\,\left( {I \in CD} \right),\,\,HK \bot SI\,\,\left( {K \in SI} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\HI \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot SI\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SI \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HI \bot CD\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SIH = {45^0}\)
Lại có: \(CD \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow CD \bot HK\), \(HK \bot SI\) nên \(HK \bot \left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\)\( \Rightarrow d\left( {AB;SC} \right) = \dfrac{4}{3}HK.\)
* Tính \(HK\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HI}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{{3a}}{2}\).
Xét tam giác \(HKI\) vuông tại \(K\), \(\angle SIH = {45^0} \Rightarrow \Delta HKI\) vuông cân tại \(K\).
 
\( \Rightarrow HK = HI.\sin {45^0} = \dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy \(d\left( {AB;SC} \right) = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4} = a\sqrt 2 .\)
Chọn: D.