Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Xác định m để \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm.
Giải chi tiết:\(f\left( x \right) = - {m^2}{x^5} - m{x^3} - \left( {{m^2} - m - 20} \right){x^2} + 2019\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = - 5{m^2}{x^4} - 3m{x^2} - 2\left( {{m^2} - m - 20} \right)x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x\left( {5{m^2}{x^3} + 3mx + 2{m^2} - 2m - 40} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - x.g\left( x \right)\end{array}\)
(với \(g\left( x \right) = 5{m^2}{x^3} + 3mx + 2{m^2} - 2m - 40\))
Nhận xét: Nếu \(g\left( x \right)\) không có nghiệm \(x = 0\) thì \(x = 0\) là nghiệm đơn của \(f'\left( x \right)\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu tại đây, khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow g\left( x \right)\) phải nhận \(x = 0\) là nghiệm \( \Rightarrow 0 + 0 + 2{m^2} - 2m - 40 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 5\end{array} \right.\)
Với \(m = - 4\) ta có: \(f'\left( x \right) = - x\left( {80{x^3} - 12x} \right) = - 4{x^2}\left( {20{x^2} - 3} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} \end{array} \right.\).
Nhận thấy: \(f'\left( x \right)\) đổi dấu tại \(x = \pm \sqrt {\dfrac{3}{{20}}} \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Với \(m = 5\)ta có: \(f'\left( x \right) = - x\left( {125{x^3} + 15x} \right)\)\( = - 5{x^2}\left( {25{x^2} + 3} \right) \le 0\,\,\,\forall x\) (chỉ bằng 0 tại \(x = 0\))
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (Thỏa mãn).
Vậy \(S = \left\{ 5 \right\}\) hay tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng 5.
Chọn: A.
