Ta có: $S=1-$\frac{1}{4}+1-$ $\frac{1}{9}+...+$ $1-\frac{1}{10000}$
$=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+...+1-\frac{1}{100^2}$
$=99-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2})$
Ta có:
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$
$=1-\frac{1}{100}<1$
Mà $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}>0$
Suy ra: $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}$ không phải số nguyên
Vậy S không phải số nguyên
