Đặt A= $\frac{1}{2²}$ + $\frac{1}{3²}$ +...+ $\frac{1}{2009²}$
Ta thấy: A < $\frac{1}{1.2}$ + $\frac{1}{2.3}$ +...+ $\frac{1}{2008.2009}$
⇒ A < 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2008}$ - $\frac{1}{2009}$
⇒ A < 1 - $\frac{1}{2009}$
⇒ A < $\frac{2008}{2009}$ < 1
⇒ A <1 (ĐPCM)