Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Gắn hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ các điểm.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\): \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\), trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là 1 VTCP của \({d_1},\,\,{d_2}\), \({M_1} \in {d_1},\,\,{M_2} \in {d_2}\).
Giải chi tiết:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\) ta có:
\(S\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {1;0;0} \right)\); \(C\left( {1;1;0} \right);\) \(D\left( {0;1;0} \right)\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(SD\) nên \(M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)\).
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right] = \left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right]} \right|}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{2}.0 + \dfrac{1}{2}.1 - \dfrac{1}{2}.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
Vậy \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
Chọn A.
