Câu 2b)
Đặt (a,b,c)↦(x−1,y−1,z−1)
Khi đó ta có 0≤x,y,z≤3,x+y+z=3
Cần cm
2(x−1)(y−1)(z−1)≤(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2≤2(x−1)(y−1)(z−1)+2
Vế đầu:
Khai triển kết hợp với x+y+z=3 thì BĐT⇔xyz≤1
Điều này đúng vì theo AM-GM cho số không âm thì 3=x+y+z≥33xyz→xyz≤1
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=0
Vế sau:
Tương tự phần trên BĐT⇔xyz≥0 ( luôn đúng do x,y,z≥0)
Dấu bằng xảy ra khi (x,y,z)=(2,−1,−1) và hoán vị
Lưu ý: "Khi" khác với "khi và chỉ khi"- nghĩa là chỉ nêu 1TH chứ chưa quét hết toàn bộ điểm rơi
