Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Sử dụng định lí: Góc giữa hai mặt phẳng là giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng, sử dụng định lí Pytago và định lí Côsin trong tam giác để tính góc.Giải chi tiết:
Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(C'D',\,\,AB\).
Xét \(\Delta MIC'\) và \(\Delta MID'\) có \(MI\) chung, \(IC' = ID'\) nên \(\Delta MIC' = \Delta MID'\) (2 cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow MC' = MD' \Rightarrow \Delta MC'D'\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow ME \bot C'D'\).
Chứng minh tương tự ta có \(MF \bot AB\).
Xét \(\left( {MC'D'} \right)\) và \(\left( {MAB} \right)\) có \(M\) chung, \(\left\{ \begin{array}{l}C'D' \subset \left( {MC'D'} \right)\\AB \subset \left( {MAB} \right)\\C'D'//AB\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {MC'D'} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx//C'D'//AB\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}ME \bot C'D'\\MF \bot AB\end{array} \right.\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ME \bot Mx\\MF \bot Mx\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MC'D'} \right) \cap \left( {MAB} \right) = Mx\\ME \subset \left( {MC'D'} \right),\,\,ME \bot Mx\\MF \subset \left( {MAB} \right),\,\,MF \bot Mx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {MC'D'} \right);\left( {MAB} \right)} \right) = \angle \left( {ME;MF} \right)\).
Giả sử \(ABCD.A'B'C'D'\) là khối lập phương có cạnh bằng 1.
Ta có \(MO = 2MI \Rightarrow MI = \dfrac{1}{3}OI = \dfrac{1}{6}\).
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(MC' = \sqrt {M{I^2} + IC{'^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {19} }}{6}\).
                                               \(ME = \sqrt {MC{'^2} - EC{'^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt {19} }}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{6}\).
Tương tự ta có \(MB = \sqrt {M{J^2} + J{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{5}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {43} }}{6}\), \(MF = \sqrt {M{B^2} - B{F^2}}  = \dfrac{{\sqrt {34} }}{6}\).
Dễ thấy \(BC'EF\) là hình bình hành nên \(EF = BC' = \sqrt 2 \).
Áp dụng định lí Côsin trong tam giác \(MEF\) ta có:
\(\cos \angle EMF = \dfrac{{M{E^2} + M{F^2} - E{F^2}}}{{2ME.MF}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt {10} }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt {34} }}{6}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\dfrac{{\sqrt {10} }}{6}.\dfrac{{\sqrt {34} }}{6}}} = \dfrac{{ - 7\sqrt {85} }}{{85}}\).
Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn, có giá trị côsin là số dương.
Vậy \(\cos \angle \left( {\left( {MC'D'} \right);\left( {MAB} \right)} \right) = \dfrac{{7\sqrt {85} }}{{85}}\).
Chọn C.