Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN\). Chứng minh \(d\left( {CN;DM} \right) = d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)\).
- Sử dụng công thức \(d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{APMD}}}}{{{S_{DMP}}}}\).
- Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{APMD}}\). Công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\) là \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
- Sử dụng công thức \({S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác.Giải chi tiết:
Gọi \(P\) là trung điểm của \(AN\). Vì \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(ACN\) nên \(MP//CN\).
\( \Rightarrow CN//\left( {DMP} \right) \supset DM\) \( \Rightarrow d\left( {CN;DM} \right) = d\left( {CN;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right)\).
Mà \(CA \cap \left( {DMP} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)}} = \dfrac{{CM}}{{AM}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {DMP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right)\).
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh a nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{APMD}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{AP}}{{AB}}.\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{APMD}} = \dfrac{1}{8}{V_{ABCD}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\).
Vì \(\Delta ACD,\,\,\Delta ABC\) là các tam giác đều cạnh \(a\) nên \(DM = CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow MP = \dfrac{1}{2}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ADP\) có:
\(\begin{array}{l}D{P^2} = A{D^2} + A{P^2} - 2AD.AP.\cos \angle DAP\\D{P^2} = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{4}} \right)^2} - 2a.\dfrac{a}{4}.cos{60^0} = \dfrac{{13{a^2}}}{{16}}\\ \Rightarrow DP = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}\end{array}\)
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DMP\) ta có \(p = \dfrac{{DM + MP + DP}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4} + \dfrac{{a\sqrt {13} }}{4}}}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta DMP}} = \sqrt {p\left( {p - DM} \right)\left( {p - MP} \right)\left( {p - DP} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {DMP} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{APMD}}}}{{{S_{DMP}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {35} }}{{32}}}} = \dfrac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\).
Vậy \(d\left( {CN;DM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {70} }}{{35}}\).
Chọn D.