Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Chứng minh \(d\left( {AB;CD} \right) = MN\).
- Sử dụng công thức \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.CD.d\left( {AB;CD} \right).sin\angle \left( {AB;CD} \right)\).
- Đặt CD = x, tính MN theo x, sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến.
- Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTLN của \({V_{ABCD}}\).Giải chi tiết:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
Vì tam giác ABC, ABD là các tam giác đều cạnh a nên AB = AC = AD = BC = BD = a.
\( \Rightarrow \Delta BCD,\,\,\Delta ACD\) là các tam giác cân tại A \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AM\\CD \bot BM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot MN\).
Lại có \(\Delta BCD = \Delta ACD\,\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AM = BM\) \( \Rightarrow \Delta ABM\) cân tại M \( \Rightarrow MN \bot AB\).
\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = MN\).
Đặt CD = x \(\left( {x > 0} \right)\) ta có \(AM = BM = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {4{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
\( \Rightarrow MN = \sqrt {\dfrac{{\dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{4} + \dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
Do đó ta có
\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.CD.d\left( {AB;CD} \right).sin\angle \left( {AB;CD} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{6}a.x.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.sin\angle \left( {AB;CD} \right)\end{array}\)
Để \({V_{ABCD}}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\,dat\,\,GTLN\\sin\angle \left( {AB;CD} \right) = 1\end{array} \right.\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(f\left( x \right) = x.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Leftrightarrow 4{x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy \(\max {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}a.\dfrac{{3{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).
Chọn A.
