Một mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: A.\(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\). B.\(\dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\). C.\(6\pi {a^2}\). D.\(3\pi {a^2}\).
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Cho tứ diện \(ABCD\) đều cạnh \(a.\) Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) Ta có \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\,;\,\,AG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(DG\) là trục của tam giác \(ABC.\) Trong \(\left( {DAG} \right)\) kẻ trung trực của \(DA\) cắt \(DG\) tại \(O\) thì \(OD = OA = OB = OC\) nên \(O\) chính là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\). Bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng độ dài đoạn \(OD\) Trong tam giác \(ADG\) vuông tại \(G,\) ta có: \(DG = \sqrt {D{A^2} - G{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tứ giác \(AGOI\) nội tiếp ta có: \(DJ.DA = DO.DG \Rightarrow DO = \dfrac{{D{A^2}}}{{2DG}} \Rightarrow R = DO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\). Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{2}\). Chọn B.