Giải thích các bước giải:
a,
Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BM và CN.
Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC và \(BG \bot CG\)
Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có:
\(\begin{array}{l}
B{M^2} = \frac{{B{A^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\\
C{N^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\\
BG \bot CG \Rightarrow B{G^2} + C{G^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}BM} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{3}CN} \right)^2} = B{C^2}\\
\Leftrightarrow \frac{4}{9}.\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = B{C^2}\\
\Leftrightarrow 4.\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 9.B{C^2}\\
\Leftrightarrow 4.\left( {\frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}} \right) = 9{a^2}\\
\Leftrightarrow 4.\left( {\frac{{{c^2}}}{4} + {a^2} + \frac{{{b^2}}}{4}} \right) = 9{a^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2}
\end{array}\)
b,
\(\begin{array}{l}
a = 5 \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 5{a^2} = 125\\
\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\\
\Leftrightarrow \cos 30^\circ = \frac{{125 - 25}}{{2.bc}}\\
\Leftrightarrow bc = \frac{{100\sqrt 3 }}{3}\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}b.c.sinA = \frac{1}{2}.\frac{{100\sqrt 3 }}{3}.\sin 30^\circ = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
