a) Ta có:
$P=p^2-1=(p-1)(p+1)^{}$
Vì $p^{}$ là số nguyên tố lớn hơn $3^{}$ nên $p^{}$ lẻ (Vì $2^{}$ là số nguyên tố chẵn duy nhất)
$⇒p-1^{}$ chẵn và $p+1^{}$ chẵn $⇒P^{}$ chia hết cho $8^{}$ với mọi số nguyên tố $p^{}$ lớn hơn $3^{}$$(1)^{}$
Vì $p^{}$ nguyên tố, $p^{}$ chia hết cho $3^{}$ nên $p^{}$ có dạng $3k+1,3k+2^{}$
+) Với $p=3k+1^{}$, ta có: $P=(3k+1-1)(3k+1+1)=3k.(3k+2)^{}$ chia hết cho $3^{}$
+) Với $p=3k+2^{}$, ta có: $P=(3k+2-1)(3k+2+1)=(3k+1)(3k+3)=3.(3k+1)(k+1)^{}$ chia hết cho $3^{}$
$⇒P^{}$ chia hết cho $3^{}$ với mọi số nguyên tố p lớn hơn $3^{}$ $(2)^{}$
Vì $(3;8)=1^{}$ nên từ $(1)^{}$ và $(2)^{}$ $⇒P^{}$ chia hết cho $24^{}$.
b) $C=53.3^{4k}-9.4^{3k+1}$
$=(36+17).3^{4k}-36.4^{3k}$
$=36.3^{4k}+17.3^{4k}-36.4^{3k}$
$=17.3^{4k}+36.(3^{4k}-4^{3k})^{}$
$=17.3^{4k}+36.(3^{4k}-4^{3k})^{}$
Vì $81-64=17^{}$ chia hết cho $17^{}$ nên $3^{4k}-4^{3k}=81^{k}-64^{k}$ chia hết cho $17^{}$
$⇒C^{}$ chia hết cho $17^{}$ $⇒^{}$ Số dư là $0^{}$
(Ý c bạn xem hình nhé)
