Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh bằng \(1cm\) và \(\angle BAD = {60^0}\). Độ dài đường chéo \(AC\) là A.\(AC = \sqrt 2 cm\) B.\(AC = \sqrt 5 \) C.\(AC = 2\sqrt 3 \) D.\(AC = \sqrt 3 cm\)
Đáp án đúng: D Phương pháp giải: + Sử dụng tính chất hình thoi + Áp dụng định lý cosin.Giải chi tiết: Theo đề bài , ta có \(ABCD\) là hình thoi \( \Rightarrow AB = BC\)\( = CD = DA\)\( = 1\left( {cm} \right)\)(tính chất hình thoi) Lại có hai góc đối : \(\angle BAD = \)\(\angle BCD\) (tính chất hình thoi) Mà đường chéo \(AC\)là đường phân giác của \(\angle BAD\) và \(\angle BCD\) (tính chất hình thoi) \( \Rightarrow \angle BAC = \angle CAD\)\( = \angle BCA = \angle ACD\) Xét tam giác \(ABC\) có : \(\angle ABC + \angle BAC + \)\(\angle BCA = {180^0}\) (tổng 3 góc trong tam giác) \( \Rightarrow \angle ABC = {180^0} - \) \(\left( {\angle BAC + \angle BCA} \right)\) \( \Leftrightarrow \angle ABC = {180^0} - \) \(\left( {\angle BAC + \angle CAD} \right)\) \( \Leftrightarrow \angle ABC = \) \({180^0} - \angle BAD\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \angle ABC = {180^0} - {60^0}\\ \Leftrightarrow \angle ABC = {120^0}\end{array}\) Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\) ta được: \(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos \angle ABC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1^2} + {1^2} - 2.1.1.\cos {120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\end{array}\) \( \Rightarrow AC = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\) Vậy độ dài đường chéo \(AC\) là \(\sqrt 3 \left( {cm} \right)\). Chọn D.