Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(d\left( {SB;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Đổi \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Dựng khoảng cách: Dựng \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\).
- Sử dụng định lí: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Sử dụng định lí Pytago, tỉ số lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Vì \(AM = \dfrac{2}{3}AB = 2a \Rightarrow BM = a = CD\).
\( \Rightarrow BCDM\) là hình vuông cạnh a, do đó \(DM//BC\).
Khi đó ta có \(DM//\left( {SBC} \right) \supset SB\) nên \(d\left( {SB;DM} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Ta có \(AM \cap \left( {SBC} \right) = B\) nên \(\dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SB\,\,\left( {H \in SB} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\end{array}\)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).
\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {30^0}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {9{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt {10} \).
Xét tam giác vuông \(SAC\) có \(SA = AC.\tan {30^0} = a\sqrt {10} .\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có: \(AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}.3a}}{{\sqrt {\dfrac{{10{a^2}}}{3} + 9{a^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt {370} }}{{37}}\).
Vậy \(d\left( {SB;DM} \right) = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{{a\sqrt {370} }}{{37}}\).
Chọn B.