Cho hàm số \\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\,\\,\\,\\left( {a,b,c,d \\in \\mathbb{R}} \\right)\\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \\(a,\\;b,\\;c,\\;d\\)? A.\(4\). B.\(2\). C.\(1\). D.\(3\).
Đáp án đúng: C Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét dáng điệu, số điểm cực trị và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung để nhận xét dấu của \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d.\)Giải chi tiết:Ta có: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \( \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) \( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = 0\,\,\,\left( * \right)\) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy nét cuối của hàm số đi xuống \( \Rightarrow a < 0.\) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại một điểm nằm phía trên trục hoành \( \Rightarrow d > 0.\) Ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đều âm nên \(\left( * \right)\) có hai nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 3ac > 0\\ - \dfrac{b}{a} < 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} > 3ac\\ab > 0\\ac > 0\end{array} \right.\) Lại có: \(a < 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b < 0\\c < 0\end{array} \right..\) Như vậy chỉ có \(d > 0.\) Chọn C.