Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ {1;\,\,3} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ge 0,\,\,b - 1 \ge 0,\,\,c - 1 \ge 0\\3 - a \ge 0,\,\,3 - b \ge 0,\,\,3 - b \ge 0\end{array} \right.\).
Từ đó xét tổng \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) + \left( {3 - a} \right)\left( {3 - b} \right)\left( {3 - c} \right) \ge 0\) để tính được giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2} + {c^2}\).Giải chi tiết:Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \left[ {1;\,\,3} \right]\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 1,\,\,b \ge 1,\,\,c \ge 1\\a \le 3,b \le 3,\,\,c \le 3\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 \ge 0,\,\,b - 1 \ge 0,\,\,c - 1 \ge 0\\3 - a \ge 0,\,\,3 - b \ge 0,\,\,3 - b \ge 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \ge 0,\,\,\left( {3 - a} \right)\left( {3 - b} \right)\left( {3 - c} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) + \left( {3 - a} \right)\left( {3 - b} \right)\left( {3 - c} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow \left( {ab - a - b + 1} \right)\left( {c - 1} \right) + \left( {9 - 3b - 3a + ab} \right)\left( {3 - c} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 + 27 - 9c - 9b + 3bc - 9a + 3ac + 3ab - abc \ge 0\)
\( \Rightarrow 2ab + 2ac + 2bc - 8a - 8b - 8c + 26 \ge 0\)
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 8a - 8b - 8c + 26 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\( \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 8\left( {a + b + c} \right) + 26 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
Mà \(a + b + c = 6\) nên \({6^2} - 8.6 + 26 \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 14\).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng \(14\).
Chọn D.