a, Xét ΔAED và ΔAFD ta có:
AD chung
\(\widehat{EAD}\) = \(\widehat{FAD}\)
=> ΔAED = ΔAFD ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> DE = DF
=> ΔDEF cân tại D
Lại có: \(\widehat{EDA}\) = \(\widehat{FDA}\)
mà \(\widehat{EDA}\) = 90\(^{\circ}\) - \(\widehat{EAD}\) = 90\(^{\circ}\) - 60\(^{\circ}\) = 30\(^{\circ}\)
=> \(\widehat{EDF}\) =\(\widehat{EDA}\) + \(\widehat{FDA}\) = \(\widehat{EDA}\) . 2 = 30\(^{\circ}\) . 2 = 60\(^{\circ}\)
=> ΔDEF đều
b, AD // CM
=> \(\widehat{ACM}\)= \(\widehat{FAD}\) = 60\(^{\circ}\) ( so le trong)
\(\widehat{CAM}\) = 180\(^{\circ}\) - \(\widehat{BAC}\) = 180\(^{\circ}\) - 120\(^{\circ}\) = 60\(^{\circ}\)
=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{CAM}\) = 60 \(^{\circ}\)
=> ΔMAC đều
=> MA = MC
c, Phân giác \(\widehat{ABC}\) và phân giác \(\widehat{ACB}\) cắt nhau tại I
=> Phân giác \(\widehat{BAC}\) cũng đi qua I
=> AD đi qua I
=> A, I , D thẳng hàng
d, ΔMAC đều
=> AC = AM = a
=> AF = AC - CF = a-b
Lại có \(\widehat{ADF}\) = 30\(^{\circ}\)
Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30\(^{\circ}\) bằng một nửa cạnh huyền
=> AF = AD : 2
hay a-b = AD : 2
=> AD = 2(a-b)
