Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp hàm số xác định GTLN, GTNN của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx + 4m}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).
- Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right)} \right|;\left| {\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right)} \right|} \right\}\).
- Giải phương trình \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3\) tìm \(m\).Giải chi tiết:Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2mx + 4m}}{{x + 2}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x + 2m} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2mx - 4m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Bảng biến thiên:

Ta có: \(2m + 1 = \dfrac{{6m + 3}}{3} > \dfrac{{6m + 1}}{3}\) nên ta có:  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 2m + 1;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 2m\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {2m + 1} \right|;\left| {2m} \right|} \right\}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {2m + 1} \right| = 3\\\left| {2m + 1} \right| \ge \left| {2m} \right|\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| {2m} \right| = 3\\\left| {2m} \right| \ge \left| {2m + 1} \right|\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1; - \dfrac{3}{2}} \right\}\end{array}\)
Vậy tích các phần tử của \(S\) bằng \(1.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) =  - \dfrac{3}{2}\).
Chọn B